單元 3｜因式分解 2026

若 A＝B×C，就表示 A 可以被 B、C 整除，所以 B、C 是 A 的因式；反過來 A 是 B、C 的倍式。

若 n≠0：
A＝B×C
＝({F('1','n')}B)×(nC)
＝(nB)×({F('1','n')}C)。

因此，只要相除後的商仍是多項式，乘上一個非 0 常數後仍可能是因式。

判斷因式最直接的方法：
原多項式 ÷ 候選因式，若能整除，候選式就是因式。

先展開右式：
8x(2x＋1)
＝16x²＋8x。

與 16x²＋ax＋b 比較：
ax＝8x，所以 a＝8；
沒有常數項，所以 b＝0。

答案：a＝8，b＝0。

原式＝(x－2)(x＋1)。

(A) x＋1：原本就有，故是因式。

(B) 2x－2＝2(x－1)：不是 x－2 或 x＋1 的常數倍，不能整除原式，所以不是。

(C) 13x－23＝13(x－2)：
是 x－2 的非 0 常數倍，因此是因式。

(D) 5x＋5＝5(x＋1)：
是 x＋1 的非 0 常數倍，因此是因式。

(E) 2x²－2x－4＝2(x²－x－2)：
原多項式除以它，商為 12，仍是多項式，所以是因式。

(F) −12：
原多項式除以非 0 常數後仍是多項式，因此也是因式。

所以答案：A、C、D、E、F。

先試因式分解：
3x²－2x－5。

找兩個一次式：
(3x－5)(x＋1)
＝3x²＋3x－5x－5
＝3x²－2x－5。

因此原式＝(3x－5)(x＋1)。
所以因式為 x＋1、3x－5，答案 A、D。

(1)
(x－1)(x＋1) 只有一個 x＋1 因式，並沒有兩個。
所以 (x＋1)² 不能整除原式。
答案為 D。

(2)
100x－200＝100(x－2)。

原式除以 100(x－2)：
(x－2)(2x＋3)100(x－2)＝2x＋3100。

商仍是多項式，因此 100x－200 是因式。

已知有因式 3x－1，設另一因式為 ax＋b：
−15x²＋11x－2＝(3x－1)(ax＋b)。

展開右式：
＝3ax²＋(3b－a)x－b。

比較 x² 項：
3a＝−15
a＝−5。

比較常數項：
−b＝−2
b＝2。

所以：
−15x²＋11x－2
＝(3x－1)(−5x＋2)
＝(3x－1)(2－5x)。

(1)
「因式分解」要把多項式寫成幾個多項式相乘的形式。

③ (x＋3)(x＋1) 已經是乘積形式，而且：
(x＋3)(x＋1)
＝x²＋x＋3x＋3
＝x²＋4x＋3。

其餘 ①、②、④ 雖然化簡後也等於 x²＋4x＋3，但還不是完整的乘積形式。
所以選 ③。

(2)
展開：
(2x－a)(x＋b)
＝2x²＋2bx－ax－ab
＝2x²＋(2b－a)x－ab。

所以一次項係數＝2b－a＝−a＋2b，選 ③。

因為：
3x²＋x－10＝(3x－5)(x＋2)。

所以 3x－5 與 x＋2 都是 3x²＋x－10 的因式；
反過來，3x²＋x－10 是 3x－5 與 x＋2 的倍式。

因此正確的是 ①。

原式：
3x²－21x－24
＝3(x＋1)(x－8)。

把 3 和 (x＋1) 合在一起：
3(x＋1)＝3x＋3。

因此：
3x²－21x－24＝(3x＋3)(x－8)。

所以 3x＋3 是原多項式的因式，選 ③。

先展開右式：
(2x＋5)(ax＋b)
＝2ax²＋2bx＋5ax＋5b
＝2ax²＋(2b＋5a)x＋5b。

與 4x²＋4x－15 比較。

x² 項：
2a＝4
a＝2。

常數項：
5b＝−15
b＝−3。

檢查一次項：
2b＋5a＝2(−3)＋5(2)
＝−6＋10
＝4，符合。

所以：
a＋b＝2＋(−3)＝−1。

(1)
若 x－a 是 A(x) 的因式，
則 A(x)＝(x－a)Q(x)。
令 x＝a：
A(a)＝(a－a)Q(a)
＝0×Q(a)
＝0。

所以填：a、0。

(2)
令 x＝a：
A(a)＝(a－a)Q(a)＝0。

所以填：a，A(a)＝0。

(A)
A÷(x＋3) 餘式為 0，所以 x＋3 是 A 的因式。
因此 A 正確。

(B)
A÷(x＋1) 餘式為 6，不是 0，
所以 x＋1 不是 A 的因式。B 錯。

(C)
A÷(x＋1) 餘式為 6，表示令 x＝−1 時：
A(−1)＝6。
因此：
(A－6) 在 x＝−1 時的值＝6－6＝0。
所以 x＋1 是 A－6 的因式。C 正確。

(D)
由題意：
A(−3)＝0，且 A(−52)＝0。
所以 x＋3 與 2x＋5 都是 A 的一次因式。

再說明為什麼兩個可以一起提出：
先寫 A＝(x＋3)Q。
令 x＝−52：
0＝A(−52)
＝(−52＋3)Q(−52)
＝12Q(−52)。
所以 Q(−52)＝0，故 2x＋5 也是 Q 的因式。

因此：
A＝(x＋3)(2x＋5)R，
所以 (x＋3)(2x＋5) 是 A 的因式。D 正確。

(1)
2x－3＝0 時：
x＝32。

因為 2x－3 是因式，所以代入後多項式值必為 0：
4(32)²－2(32)＋m＝0
4×94－3＋m＝0
9－3＋m＝0
6＋m＝0
所以 m＝−6。

(2)
2x－1＝0 時：
x＝12。

代入：
4(12)²－n(12)＋7＝0
4×14－n2＋7＝0
1－n2＋7＝0
8－n2＝0
n2＝8
所以 n＝16。

(1)
x－2 是因式，所以令 x＝2：
2(2²)＋5(2)＋k＝0
8＋10＋k＝0
18＋k＝0
所以 k＝−18。

(2)
原式變成：
2x²＋5x－18。

因為已知 x－2 是因式，設：
2x²＋5x－18＝(x－2)(2x＋c)。

展開：
(x－2)(2x＋c)
＝2x²＋(c－4)x－2c。

比較一次項：
c－4＝5
c＝9。

所以另一因式是 2x＋9，選 ③。

展開右式：
(3x＋1)(x＋a)
＝3x²＋3ax＋x＋a
＝3x²＋(3a＋1)x＋a。

與 3x²－5x＋m 比較。

一次項：
3a＋1＝−5
3a＝−6
a＝−2。

常數項：
m＝a＝−2。

所以：
a＝−2，m＝−2。

設 P(x)＝x³－2x²＋ax＋b。

因為 x－2 是因式：
P(2)＝0。
2³－2×2²＋2a＋b＝0
8－8＋2a＋b＝0
所以：
2a＋b＝0。……①

因為 x＋1 是因式：
P(−1)＝0。
(−1)³－2(−1)²－a＋b＝0
−1－2－a＋b＝0
所以：
−a＋b−3＝0
b＝a＋3。……②

把②代入①：
2a＋(a＋3)＝0
3a＋3＝0
3a＝−3
a＝−1。

b＝a＋3＝−1＋3＝2。

因此原式：
P(x)＝x³－2x²－x＋2。

已知它有 (x－2)(x＋1)，所以設：
P(x)＝(x－2)(x＋1)(x＋c)。

先算：
(x－2)(x＋1)
＝x²－x－2。

再乘 (x＋c)：
(x²－x－2)(x＋c)
＝x³＋(c－1)x²＋(−c－2)x－2c。

與 x³－2x²－x＋2 比較 x² 項：
c－1＝−2
c＝−1。

所以：
P(x)＝(x－2)(x＋1)(x－1)。

因為 2x－3 是因式：
2x－3＝0 → x＝32。

代入 6x²－mx－6：
6(32)²－m(32)－6＝0
6×94－3m2－6＝0
544－6－3m2＝0
272－122－3m2＝0
15−3m2＝0
15－3m＝0
m＝5。

所以原式：
6x²－5x－6。

已知有因式 2x－3，設另一因式為 3x＋c：
(2x－3)(3x＋c)
＝6x²＋(2c－9)x－3c。

比較常數項：
−3c＝−6
c＝2。

因此：
6x²－5x－6＝(2x－3)(3x＋2)。

逐一檢查是否能同時整除 −4x 與 x³。

(A) x
−4x÷x＝−4；x³÷x＝x²。
兩個商都是多項式，所以 x 是公因式。

(B) x²
−4x÷x²＝−4x，不是多項式，
所以 x² 不是公因式。

(C) x³
−4x÷x³＝−4x²，不是多項式，
所以 x³ 不是公因式。

(D) −4
−4x÷(−4)＝x；
x³÷(−4)＝−14x³，仍是多項式。
所以 −4 也是公因式。

因此答案為 A、D。

因為 x－1 是兩個多項式的因式，所以令 x＝1，兩式都要等於 0。

第一式：
2(1)²＋a(1)－3＝0
2＋a－3＝0
a－1＝0
所以 a＝1。

第二式：
6(1)²＋1＋b＝0
6＋1＋b＝0
7＋b＝0
所以 b＝−7。

(1)
A＝(2x＋3)(3x－1)
B＝(3x－1)(4x－3)。

共同出現的是 3x－1，所以選 C。

(2)
A－B
＝(2x＋3)(3x－1)－(3x－1)(4x－3)
＝(3x－1)[(2x＋3)－(4x－3)]
＝(3x－1)(2x＋3－4x＋3)
＝(3x－1)(−2x＋6)
＝2(3x－1)(3－x)。

第一個式子：
3x(2x－1)。

第二個式子：
4(2x－1)²
＝4(2x－1)(2x－1)。

兩式都含有 2x－1。
但第一式只有一個 2x－1，所以 (2x－1)² 不是公因式。

答案為 ② 2x－1。

先把 2x＋6 改寫：
2x＋6＝2(x＋3)。

第一個式子：
(2x＋6)(4x－3)
＝2(x＋3)(4x－3)。

第二個式子：
(5x－1)(x＋3)。

所以 x＋3 明顯是兩式的公因式。

再看 2x＋6：
第二個式子可寫成：
(5x－1)(x＋3)
＝(2x＋6)·5x－12。

5x－12 仍是一個一次多項式，
因此依本講義的因式定義，2x＋6 也可作為公因式。

③ 4x－3 只出現在第一式；④ 5x－1 只出現在第二式。

所以答案為 ①、②。

先把三個多項式因式分解。

P＝6x²－2x
＝2x(3x－1)。

Q＝(2x＋1)(2x－1)。

R＝(2x＋1)(6x－3)－x(6x－3)
＝(6x－3)[(2x＋1)－x]
＝(6x－3)(x＋1)
＝3(2x－1)(x＋1)。

比較因式：
Q 與 R 都含有 2x－1。

所以有一次公因式的是 Q、R，選 B。

因為：
a－b＝−(b－a)。

所以：
(a－b)²＝[−(b－a)]²＝(b－a)²。

(a－b)³＝[−(b－a)]³＝−(b－a)³。

一般化：
奇次方時，負號會保留：
(a－b)^奇＝−(b－a)^奇。

偶次方時，負號會消失：
(a－b)^偶＝(b－a)^偶。

(1)
x－3x²
兩項都有 x：
＝x(1－3x)。

所以答案為 x(1－3x)。

(2)
3x²＋6x
兩項都有 3x：
＝3x(x＋2)。

所以答案為 3x(x＋2)。

(1)
x(2x＋5)－x(x－1)
＝x[(2x＋5)－(x－1)]
＝x(2x＋5－x＋1)
＝x(x＋6)。

(2)
(x＋2)²＋3(x＋2)
＝(x＋2)[(x＋2)＋3]
＝(x＋2)(x＋5)。

(3)
注意：
−3x＋1＝−(3x－1)。

所以：
(3x－1)(2x－5)－3x＋1
＝(3x－1)(2x－5)－(3x－1)
＝(3x－1)[(2x－5)－1]
＝(3x－1)(2x－6)
＝2(3x－1)(x－3)。

(1)
因為：
3－x＝−(x－3)。

所以：
x(x－3)－2(3－x)
＝x(x－3)＋2(x－3)
＝(x－3)(x＋2)。

答案：(x－3)(x＋2)。

(2)
因為：
2－x＝−(x－2)。

原式：
(x－3)(x－2)－(x－4)(2－x)
＝(x－3)(x－2)+(x－4)(x－2)
＝(x－2)[(x－3)+(x－4)]
＝(x－2)(2x－7)。

答案：(x－2)(2x－7)。

(1)
(1－x)²＝(x－1)²。
所以：
4x(x－1)+(x－1)²
＝(x－1)[4x+(x－1)]
＝(x－1)(5x－1)。

(2)
2－5x＝−(5x－2)。
所以：
(5x－2)²－4x(2－5x)
＝(5x－2)²＋4x(5x－2)
＝(5x－2)[(5x－2)+4x]
＝(5x－2)(9x－2)。

(3)
直接提出 2x－1：
(2x－1)[(2x－1)−2(1－x)]
＝(2x－1)(2x－1−2+2x)
＝(2x－1)(4x－3)。

(4)
6x－4＝2(3x－2)，
(2－3x)²＝(3x－2)²。

所以：
2(3x－2)+(3x－2)²
＝(3x－2)[2+(3x－2)]
＝(3x－2)(3x)
＝3x(3x－2)。

(1)
3x²－x
＝x(3x－1)。

(2)
6x＋5x²
＝x(6＋5x)
＝x(5x＋6)。

(1)
(4x²－7x)+(8x－14)
＝x(4x－7)+2(4x－7)
＝(4x－7)(x＋2)。

(2)
(2x²＋4x)－(7x＋14)
＝2x(x＋2)－7(x＋2)
＝(x＋2)(2x－7)。

(3)
先重新排列：
x²+(a－13)x－13a
＝x²－13x+ax－13a
＝x(x－13)+a(x－13)
＝(x＋a)(x－13)。

(4)
依 m 項與 n 項分組：
(−4mx+4my−4mz)+(8nx−8ny+8nz)
＝−4m(x－y＋z)+8n(x－y＋z)
＝(−4m+8n)(x－y＋z)
＝4(2n－m)(x－y＋z)。

(1)
先把前面乘開：
(x－1)(x－2)
＝x²－3x＋2。

再乘 x：
x(x²－3x＋2)－6
＝x³－3x²＋2x－6。

分組：
＝(x³－3x²)+(2x－6)
＝x²(x－3)+2(x－3)
＝(x－3)(x²＋2)。

(2)
前兩項先提出 x：
16ax＋13x
＝x(a6+13)
＝x(a6+26)
＝x(a＋2)6。

後兩項：
−12a－1
＝−(a2+1)
＝−a＋22。

因此：
x(a＋2)6−a＋22
＝(a＋2)(x6−12)
＝(a＋2)(x6−36)
＝16(a＋2)(x－3)。

(1)
x(x－3)－3x²
＝x[(x－3)－3x]
＝x(x－3－3x)
＝x(−2x－3)
＝−x(2x＋3)。

(2)
(x－4)²+(x－4)
＝(x－4)[(x－4)+1]
＝(x－4)(x－3)。

(3)
(3x＋4)(2x－5)－(2x－5)²
＝(2x－5)[(3x＋4)－(2x－5)]
＝(2x－5)(3x＋4－2x＋5)
＝(2x－5)(x＋9)。

(1)
3－x＝−(x－3)。

5x(3－x)－10(x－3)
＝−5x(x－3)−10(x－3)
＝−5(x－3)(x＋2)
＝−5(x＋2)(x－3)。

(2)
4－3x＝−(3x－4)。

(3x－4)(3x＋1)+(4－3x)(2x－1)
＝(3x－4)(3x＋1)−(3x－4)(2x－1)
＝(3x－4)[(3x＋1)−(2x－1)]
＝(3x－4)(x＋2)。

答案：(3x－4)(x＋2)。

(1)
(5－2x)²＝(2x－5)²。

所以：
(2x－5)²－(2x－5)(x－5)
＝(2x－5)[(2x－5)－(x－5)]
＝(2x－5)(2x－5－x＋5)
＝x(2x－5)。

(2)
1－x＝−(x－1)。

2(x－1)(x－3)－(1－x)(3x＋5)
＝2(x－1)(x－3)+(x－1)(3x＋5)
＝(x－1)[2(x－3)+(3x＋5)]
＝(x－1)(2x－6＋3x＋5)
＝(x－1)(5x－1)。

(1)
(4x²＋6x)+(10x＋15)
＝2x(2x＋3)+5(2x＋3)
＝(2x＋3)(2x＋5)。

(2)
(4x－3)(3x－1)－(4x－3)
＝(4x－3)[(3x－1)−1]
＝(4x－3)(3x－2)。

答案：(4x－3)(3x－2)。

(1)
−5x＋45＝−5(x－9)。

所以：
(x－9)²－5x＋45
＝(x－9)²−5(x－9)
＝(x－9)[(x－9)−5]
＝(x－9)(x－14)。

(2)
由 (1)，令 x＝114：
(114－9)²−5×114＋45
＝(114－9)(114－14)
＝105×100
＝10500。

原式：
(2x－1)+(2x²－x)。

注意：
2x²－x＝x(2x－1)。

所以：
(2x－1)+x(2x－1)
＝(2x－1)(1+x)
＝(2x－1)(x＋1)。

與 (2x－1)(x＋a) 比較：
a＝1。

由第二行可知，第一行前後兩項一定有相同的共同因式。
設共同因式為 K。

則：
K[(x－2)－(2x－5)]
＝K(x－2－2x＋5)
＝K(3－x)。

最後答案是：
(x－3)(x－1)。

注意：
3－x＝−(x－3)。
若要得到兩個負號相消：
K 應該是 1－x＝−(x－1)。

驗算：
(1－x)(3－x)
＝[−(x－1)][−(x－3)]
＝(x－1)(x－3)
＝(x－3)(x－1)。

所以被模糊的共同因式是 1－x，中間式為 (1－x)(3－x)。

(1)
2 個甲面積＝2x²。
1 個乙面積＝bx。

總面積：
2x²＋bx
＝x(2x＋b)。

因此長方形兩鄰邊可為：
x、2x＋b。

(2)
2 個丙面積＝2x。
1 個丁面積＝b。

總面積：
2x＋b
＝1(2x＋b)。

因此兩鄰邊為：
1、2x＋b。

(3)
六個圖形總面積：
2x²＋bx＋2x＋b。

分組：
＝(2x²＋bx)+(2x＋b)
＝x(2x＋b)+1(2x＋b)
＝(x＋1)(2x＋b)。

因此大長方形兩鄰邊為：
x＋1、2x＋b。

先提公因式，不要急著代小數：
4x(y－2)－3x(y－2)
＝(y－2)(4x－3x)
＝x(y－2)。

代入 x＝0.8、y＝2.75：
0.8(2.75－2)
＝0.8×0.75
＝0.6。

(1)
6x－30＝6(x－5)。

所以：
6x－30－(x－5)²
＝6(x－5)−(x－5)²
＝(x－5)[6−(x－5)]
＝(x－5)(11－x)
＝−(x－5)(x－11)。

(2)
由 (1)，令 x＝111：
6×111－30－(111－5)²
＝−(111－5)(111－11)
＝−106×100
＝−10600。

原式兩項都有 13x－9：
(13x－9)(23x－11)−(13x－9)(11x－7)
＝(13x－9)[(23x－11)−(11x－7)]
＝(13x－9)(23x－11−11x＋7)
＝(13x－9)(12x－4)。

與 (ax＋b)(12x＋c) 比較：
a＝13
b＝−9
c＝−4。

所以：
a＋b＋c
＝13−9−4
＝0。

先算全部圖形面積：
9 個 A：9ax
12 個 B：12x²
3 個 C：3a
4 個 D：4x。

總面積：
12x²＋9ax＋4x＋3a。

分組：
＝(12x²＋4x)+(9ax＋3a)
＝4x(3x＋1)+3a(3x＋1)
＝(3x＋1)(4x＋3a)。

所以大矩形的兩邊可為：
3x＋1、4x＋3a。

周長：
2[(3x＋1)+(4x＋3a)]
＝2(7x＋3a＋1)
＝14x＋6a＋2。

平方差：
(a＋b)(a－b)
＝a²－ab＋ab－b²
＝a²－b²。

和平方：
(a＋b)²＝(a＋b)(a＋b)
＝a²＋ab＋ab＋b²
＝a²＋2ab＋b²。

差平方：
(a－b)²＝(a－b)(a－b)
＝a²－ab－ab＋b²
＝a²－2ab＋b²。

① x²＋2x＋1＝x²＋2×x×1＋1²＝(x＋1)²，所以填 1、1、1。

② 12x＝2×x×6，36＝6²，所以 x²＋12x＋36＝x²＋2×x×6＋6²＝(x＋6)²，填 6、6、6。

③ x²－2x＋1＝x²－2×x×1＋1²＝(x－1)²，填 1、1、1。

④ 10x＝2×x×5，25＝5²，所以 x²－10x＋25＝(x－5)²，填 5、5、5。

(1) x²－25＝x²－5²＝(x＋5)(x－5)。

(2) 12x＝2×2x×3，所以末項要補 3²＝9：
4x²＋12x＋9＝(2x)²＋2×2x×3＋3²＝(2x＋3)²。

(3) (3x－10)²＝9x²－60x＋100，所以填 9、3。

(4) (x－7)²＝x²－14x＋49，所以填 14、7。

(1) x²＋10x＋25＝x²＋2×x×5＋5²＝(x＋5)²。

(2) 9x²－24x＋16＝(3x)²－2×3x×4＋4²＝(3x－4)²。

(3) 64x²－49＝(8x)²－7²＝(8x＋7)(8x－7)。

(1) x²－10x＋25＝(x－5)²。

(2) 16x²－24x＋9＝(4x)²－2×4x×3＋3²＝(4x－3)²。

(3) −25x²＋10x−1＝−(25x²－10x＋1)＝−(5x－1)²。

(4) 27y²＋18y＋3＝3(9y²＋6y＋1)＝3(3y＋1)²。

(5) x²4＋x＋1＝(x2)²＋2×x2×1＋1²＝(x2＋1)²。

(1) x²−400＝x²−20²＝(x＋20)(x−20)。

(2) 81x²−25＝(9x)²−5²＝(9x＋5)(9x−5)。

(3) 48x²−3＝3(16x²−1)＝3[(4x)²−1²]＝3(4x＋1)(4x−1)。

(1) 令 A＝x−1：A²＋10A＋25＝(A＋5)²，所以＝(x＋4)²。

(2) 令 A＝2x−5：9A²＋6A＋1＝(3A＋1)²＝(6x−14)²＝4(3x−7)²。

(3) 令 A＝2x＋1、B＝3(x−3)。原式＝A²＋2AB＋B²＝(A＋B)²＝(5x−8)²。

(4) (3x＋2)²−7²＝(3x＋9)(3x−5)＝3(x＋3)(3x−5)。

(5) (3x＋1)²−(x−4)²＝[(3x＋1)+(x−4)][(3x＋1)−(x−4)]＝(4x−3)(2x＋5)。

(6) 9(2x−1)²−4(x＋3)²＝[3(2x−1)]²−[2(x＋3)]²
＝[6x−3−2x−6][6x−3＋2x＋6]＝(4x−9)(8x＋3)。

(7) 4(a＋b)²＋4(a＋b)＋1＝[2(a＋b)]²＋2×2(a＋b)×1＋1²＝(2a＋2b＋1)²。

(1) −25x²＋10x−1＝−(25x²−10x＋1)＝−(5x−1)²。

(2) 9y²−25x²＋10x−1＝9y²−(5x−1)²
＝(3y)²−(5x−1)²
＝[3y+(5x−1)][3y−(5x−1)]
＝(5x＋3y−1)(3y−5x＋1)。

(1) x²＋4x＋4＝(x＋2)²。

(2) 4x²−20x＋25＝(2x−5)²。

(3) −25x²＋110x−121＝−(25x²−110x＋121)＝−(5x−11)²。

(1) x⁵−x＝x(x⁴−1)＝x(x²−1)(x²＋1)＝x(x−1)(x＋1)(x²＋1)。

(2) z²(z−y)=−z²(y−z)，所以原式＝(y−z)(x²−z²)＝(y−z)(x−z)(x＋z)。

(3) 1−x²−y²+x²y²＝(1−x²)−y²(1−x²)＝(1−x²)(1−y²)
＝(1−x)(1＋x)(1−y)(1＋y)。

(1) 4x²−y²−2y−1＝4x²−(y²＋2y＋1)＝(2x)²−(y＋1)²
＝(2x＋y＋1)(2x−y−1)。

(2) 4x²−9y²−4x＋1＝(4x²−4x＋1)−9y²＝(2x−1)²−(3y)²
＝(2x−1＋3y)(2x−1−3y)。

(1) 9x²−1＝(3x)²−1²＝(3x＋1)(3x−1)。

(2) 3x²−12＝3(x²−4)＝3(x＋2)(x−2)。

(1) 令 A＝3x＋1，A²＋6A＋9=(A＋3)²，所以＝(3x＋4)²。

(2) 令 A＝2x−5，16A²−8A＋1=(4A−1)²，所以＝(8x−21)²。

(3) 16−(2y＋3)²＝[4+(2y＋3)][4−(2y＋3)]＝(2y＋7)(1−2y)。

(4) (5x＋7)²−(2x＋11)²＝[(5x＋7)+(2x＋11)][(5x＋7)−(2x＋11)]＝(7x＋18)(3x−4)。

9x²−6x＝3x(3x−2)。
9x²−12x＋4＝(3x−2)²。

兩式共同都有的因式是 3x−2，所以選 (3)。

從：
ax²＋bx＋c
＝a(x²＋bax)+c。

括號內要補成平方：
x²＋bax
＝x²＋2·x·b2a。

所以加上再減去 (b2a)²：
＝a[(x＋b2a)²－b²4a²]+c
＝a(x＋b2a)²－b²4a＋c
＝a(x＋b2a)²＋4ac－b²4a。

若整個式子要剛好只有平方項，最後的常數要等於 0：
4ac－b²＝0
所以：
b²＝4ac。

2(2x＋b)²＝2(4x²＋4bx＋b²)=8x²＋8bx＋2b²。

與 8x²＋24x＋a 比較：
8b＝24 → b＝3。
a＝2b²＝2×9＝18。

所以 a＝18，b＝3。

(3x−b)²＝9x²−6bx＋b²。
比較常數項：b²＝4，所以 b＝2 或 −2。
比較 x 項：a＝6b。

若 b＝2，a＝12：2a−b＝24−2＝22。
若 b＝−2，a＝−12：2a−b＝−24＋2＝−22。

答案：22、−22。

(7x−b)²＝49x²−14bx＋b²。
b²＝25，所以 b＝5 或 −5。
又 a＝14b。
因 a 必須為正整數，所以只能 b＝5，a＝70。

故選 (1) 5。

(3x＋b)²＝9x²＋6bx＋b²。
b²＝4，所以 b＝±2。
−a＝6b。因 a＞0，所以 −a＜0，故 b 必須為 −2。
−a＝6×(−2)=−12，所以 a＝12。

答案：a＝12，b＝−2。

因 9x²=(3x)²、25=5²，所以可能是 (3x＋5)² 或 (3x−5)²。

若為 (3x＋5)²＝9x²＋30x＋25：
−(a−1)=30 → a−1=−30 → a=−29。

若為 (3x−5)²＝9x²−30x＋25：
−(a−1)=−30 → a−1=30 → a=31。

(1) (x＋y)²−4xy＝x²＋2xy＋y²−4xy＝x²−2xy＋y²＝(x−y)²。

(2) 直接套用 (1)：
(265＋165)²−4×265×165＝(265−165)²＝100²＝10000。

大正方形面積＝4x²＋6x＋6x＋9＝4x²＋12x＋9。
4x²=(2x)²，9=3²，12x=2×2x×3。
所以面積＝(2x＋3)²。
因此邊長＝2x＋3。

總面積＝4x²＋mx＋49。
因為 4x²=(2x)²、49=7²，若為完全平方，應是：
(2x＋7)²＝4x²＋28x＋49。
比較中間項：m＝28。

(1) 總面積＝x²＋80x＋1600。
1600=40²，80x=2×x×40，所以：
x²＋80x＋1600＝(x＋40)²。
邊長＝x＋40。

(2) 少 1 塊後總面積＝x²＋80x＋1599。
39×41=1599，39＋41=80。
所以：
x²＋80x＋1599＝x²＋39x＋41x＋39×41
＝x(x＋39)+41(x＋39)
＝(x＋39)(x＋41)。
因此長方形兩邊為 x＋39、x＋41。

平方差：
(2x＋1)²−(x＋3)²
=[(2x＋1)−(x＋3)][(2x＋1)+(x＋3)]
＝(x−2)(3x＋4)。

結果為正質數，兩個正整數因數中必有一個是 1。
當 x＞2 時，x−2＝1 → x＝3。
3x＋4＝13。
所以原式＝1×13＝13。
x=1 時為負數、x=2 時為 0，都不是正質數。

(1) x⁴−16＝(x²)²−4²＝(x²−4)(x²＋4)
＝(x−2)(x＋2)(x²＋4)。

(2) 令 x=7：
7⁴−16=(7−2)(7＋2)(7²＋4)=5×9×53=45×53。
所以 53 可整除 7⁴−16，而且 47＜53＜59。
答案＝53。

(1)
a²−12a=(a−6)²−36；b²−16b=(b−8)²−64；c²−20c=(c−10)²−100。
代入：
(a−6)²＋(b−8)²＋(c−10)²−36−64−100＋200=0
所以 (a−6)²＋(b−8)²＋(c−10)²=0。
平方都不小於 0，因此只能各自等於 0：
a=6，b=8，c=10。
面積=6×8÷2=24。
設斜邊高 h：24=10h÷2=5h，所以 h=245。

(2)
3a²−18a=3[(a−3)²−9]；b²−8b=(b−4)²−16；2c²−20c=2[(c−5)²−25]。
代入後：
3(a−3)²＋(b−4)²＋2(c−5)²−27−16−50＋93=0。
常數恰好相消，所以：
3(a−3)²＋(b−4)²＋2(c−5)²=0。
因此 a=3，b=4，c=5。
面積=3×4÷2=6。
設斜邊高 h：6=5h÷2，所以 12=5h，h=125。

總面積：
4x²＋4x＋1。

因為：
4x²=(2x)²，4x＝2·(2x)·1，1=1²。

所以：
4x²＋4x＋1＝(2x＋1)²。
選 ③。

剩餘面積：
(3x＋1)²－(2x)²。

利用平方差：
＝[(3x＋1)+2x][(3x＋1)−2x]
＝(5x＋1)(x＋1)。

所以對應的長方形兩邊為 5x＋1、x＋1。

先整理分母：
√10＋√14＋√15＋√21
＝√2√5＋√2√7＋√3√5＋√3√7
＝√2(√5＋√7)+√3(√5＋√7)
＝(√2＋√3)(√5＋√7)。

因此原式：
＝√2＋√3(√2＋√3)(√5＋√7)
＝1√5＋√7。

分子分母同乘 √7－√5：
＝√7－√5(√7＋√5)(√7－√5)
＝√7－√57－5
＝√7－√52。

(1)
xy²－x²y＋x－y
＝xy(y－x)+(x－y)
＝−xy(x－y)+(x－y)
＝(x－y)(1−xy)。

已知 xy＝5：
(x－y)(1−5)=28
−4(x－y)=28
所以 x－y＝−7。

(2)
先求 xy。
(x＋y)²＝x²＋2xy＋y²
64＝52＋2xy
2xy＝12
xy＝6。

原式：
x²y＋xy²＋xy−x−y−1
＝xy(x＋y)+xy−(x＋y)−1
＝6×8＋6−8−1
＝48＋6−9
＝45。

老師提示 899＝900－1。

原式：
x²＋60x＋899
＝x²＋60x＋900－1
＝(x＋30)²－1²
＝(x＋30＋1)(x＋30−1)
＝(x＋31)(x＋29)。

所以：
a＝31，b＝29。

(1)
原式加 1：
a²b²＋a²＋b²＋1＝2005。

左式：
a²b²＋a²＋b²＋1
＝(a²＋1)(b²＋1)。

所以：
(a²＋1)(b²＋1)=2005。
2005＝5×401。

因 a、b 為正整數，所以 a²＋1、b²＋1 都至少是 2。
可行的兩因數只能是 5 與 401：
a²＋1=5 → a²=4 → a=2；
b²＋1=401 → b²=400 → b=20。
或交換 a、b。

所以 (a,b)=(2,20) 或 (20,2)。
因此 a－b＝−18 或 18。

(2)
4a²−b²=(2a−b)(2a＋b)=19。

19 是質數，且 2a＋b＞0。
所以：
2a−b=1，2a＋b=19。

兩式相加：4a=20 → a=5。
b=19−2a=19−10=9。
所以 a－b＝5−9＝−4。

(1)
依 a、c 與其餘項分組：
2a(x−4y)−3c(x−4y)−2(x−4y)
＝(x−4y)(2a−3c−2)。

(2)
先依 (2x−z) 分組：
2x³−x²z−4x²y＋2xyz＋2xy²−y²z
＝x²(2x−z)−2xy(2x−z)+y²(2x−z)
＝(2x−z)(x²−2xy+y²)
＝(x−y)²(2x−z)。

(3)
c(a²−b²)−ab(1−c²)
＝a²c−b²c−ab+abc²。

分組：
＝ac(a+bc)−b(a+bc)
＝(a+bc)(ac−b)。

(1)
把答案候選乘回去驗證：
(x−2a)(x²+bx+a²)
＝x³+bx²+a²x−2ax²−2abx−2a³
＝x³−(2a−b)x²−(2ab−a²)x−2a³。

所以：
(x−2a)(x²+bx+a²)。

(2)
先按 a 的項分組：
x³+(2a+1)x²+(a²+2a−1)x+a²−1
＝[x³+x²−x−1]+[2ax²+2ax]+[a²x+a²]
＝(x+1)(x²−1)+2ax(x+1)+a²(x+1)
＝(x+1)[x²−1+2ax+a²]
＝(x+1)[(x+a)²−1]
＝(x+1)(x+a−1)(x+a+1)。

(1)
x²＋2xy＋y²=(x+y)²。
所以原式＝(2xy)²−(x+y)²
＝(2xy−x−y)(2xy+x+y)。

(2)
先平方差：
=[x²+y²−1−2xy][x²+y²−1+2xy]
=[(x−y)²−1][(x+y)²−1]
＝(x−y−1)(x−y+1)(x+y−1)(x+y+1)。

(3)
先提出 x+y：
=(x+y)[4(x+y)²−1]
=(x+y)[2(x+y)−1][2(x+y)+1]
＝(x+y)(2x+2y−1)(2x+2y+1)。

(1)
x⁴＋4
＝x⁴＋4x²＋4−4x²
＝(x²＋2)²−(2x)²
＝(x²−2x＋2)(x²＋2x＋2)。

(2)
x⁴＋5x²＋9
＝x⁴＋6x²＋9−x²
＝(x²＋3)²−x²
＝(x²−x＋3)(x²＋x＋3)。

(3)
4x⁴＋3x²＋1
＝4x⁴＋4x²＋1−x²
＝(2x²＋1)²−x²
＝(2x²−x＋1)(2x²＋x＋1)。

(1)
−b²−2b+3＝−[(b+1)²−4]。
原式：
a⁴+4a²+4−(b+1)²
＝(a²+2)²−(b+1)²
＝(a²−b+1)(a²+b+3)。

(2)
展開前兩因式：
(a²−1)(b²−1)−4ab
＝a²b²−a²−b²+1−4ab。

注意：
(ab−1)²−(a+b)²
＝a²b²−2ab+1−a²−2ab−b²
＝a²b²−a²−b²+1−4ab。

所以：
＝[(ab−1)−(a+b)][(ab−1)+(a+b)]
＝(ab−a−b−1)(ab+a+b−1)。

(1)
直接依三項平方展開：
(a+b+c)²＝a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc。
所以答案 (a+b+c)²。

(2)
先看 x−y−1：
(x−y−1)²
＝x²+y²+1−2xy−2x+2y。
正好等於原式。
所以答案 (x−y−1)²。

(3)
令 T＝x²+y²。
x²+xy+y²＝T+xy。

原式：
(T+xy)²−4xyT
＝T²+2xyT+x²y²−4xyT
＝T²−2xyT+x²y²
＝(T−xy)²
＝(x²−xy+y²)²。

令 T＝x(x+1)。
原式左邊：
16T²−aT+9。

右邊：
(4x²+4x+b)²
＝(4T+b)²
＝16T²+8bT+b²。

比較常數項：
b²=9，所以 b=3 或 −3。

比較 T 項：
−a=8b。
因 a 為正整數，所以 −a<0，故 b 必須是 −3。

a=24。
所以：
a+b=24−3=21。

設長為 m、寬為 n，m,n 為正整數。

面積＝mn；周長＝2(m+n)。
條件：
mn=2m+2n。

移項並配成乘積：
mn−2m−2n=0
mn−2m−2n+4=4
(m−2)(n−2)=4。

正整數因數組合：
1×4 → m−2=1,n−2=4，得到 (m,n)=(3,6)，面積18。
2×2 → (m,n)=(4,4)，面積16。
4×1 只是長寬交換。

所以面積可能是 16 或 18。

(1)
先把前面三項整理：
4x²−9y²−12x
＝(2x+3y)(2x−3y)−12x。

已知：
(2x+3y)(2x−3y)=2092×2017。

又兩式相加：
4x=2092+2017=4109，
所以 12x=3×4109=12327。

原式：
2092×2017−12327−2089×2013。

把第一個乘積改寫：
2092×2017=(2089+3)(2013+4)
＝2089×2013+4×2089+3×2013+12。

相減後：
4×2089+3×2013+12−12327
＝8356+6039+12−12327
＝14407−12327
＝2080。

(2)
原式：
a²−16b²−c²+6ab+10bc=0。

把前四個相關項配成：
(a+3b)²−(c−5b)²
＝a²+6ab+9b²−[c²−10bc+25b²]
＝a²+6ab−16b²−c²+10bc。

所以：
(a+3b)²−(c−5b)²=0。

平方差：
(a+3b−c+5b)(a+3b+c−5b)=0
(a+8b−c)(a+c−2b)=0。

三角形三邊有 c 因此 a+8b−c>0，不可能等於0。

故只能：
a+c−2b=0
也就是 a+c=2b。

依提示拆中間項，目標讓兩組都有相同括號：
2x⁴−2x³+x²+3x−6
＝(2x⁴−2x³+4x²)+(−3x²+3x−6)
＝2x²(x²−x+2)−3(x²−x+2)
＝(2x²−3)(x²−x+2)。

先展開前兩項的一部分，保留最後一項：
a²b−a²c+b²c−ab²+c²(a−b)。

把前四項分組：
ab(a−b)−c(a²−b²)+c²(a−b)
＝ab(a−b)−c(a−b)(a+b)+c²(a−b)
＝(a−b)[ab−ac−bc+c²].

括號再分組：
ab−ac−bc+c²
＝a(b−c)−c(b−c)
＝(a−c)(b−c)。

所以：
(a−b)(a−c)(b−c)。

為避免使用超出範圍的立方和差公式，直接展開。

(x−2)³＝x³−6x²+12x−8。
(y−2)³＝y³−6y²+12y−8。
(x−y)³＝x³−3x²y+3xy²−y³。

代入：
x³−6x²+12x−8
−y³+6y²−12y+8
−x³+3x²y−3xy²+y³。

消去 x³、y³、常數後：
＝−6x²+6y²+12x−12y+3x²y−3xy²
＝3[−2x²+2y²+4x−4y+x²y−xy²].

把 x−y 提出：
−2x²+2y²＝−2(x−y)(x+y)
4x−4y＝4(x−y)
x²y−xy²＝xy(x−y)。

所以：
＝3(x−y)[−2(x+y)+4+xy]
＝3(x−y)(xy−2x−2y+4)
＝3(x−y)(x−2)(y−2)。

令 a＝11112，b＝11111，則 a+b＝22223。

題式可整理為：
(a+b)³＋a³＋b³(a+b)³＋a³−b³。

不用背立方和公式，直接驗證：
(a+b)³＋a³＋b³
＝[a³+3a²b+3ab²+b³]+a³+b³
＝2a³+3a²b+3ab²+2b³
＝(a+b)(2a²+ab+2b²)。

分母：
(a+b)³+a³−b³
＝a³+3a²b+3ab²+b³+a³−b³
＝2a³+3a²b+3ab²
＝a(2a²+3ab+3b²)。

代入 a=b+1，經整理後原分式可約成：
3b＋23b＋1。

b=11111：
＝3333533334。

設兩股為 a、b，斜邊為 c，且面積＝k×周長，其中 k 是正整數。

ab2＝k(a+b+c)。
所以：
ab＝2k(a+b+c)。……①

利用 c²=a²+b²。由①：
c=ab2k−a−b。

平方後整理會較長，因此改用一個國二可驗證的等價整理：
由①移項：
ab−2ka−2kb=2kc。
兩邊加 4k²：
(a−2k)(b−2k)=2k(c+2k)。

配合畢氏定理做整數檢查，可得到可行的基本整數三角形只有：
(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)。

逐一驗算：
(3,4,5)：面積6、周長12 → 面積＝12周長，不符合「面積是周長整數倍」。
若題意依講義慣例是「周長恰好等於面積的整數倍」，則：
12＝2×6，30＝? 不是面積倍數，24＝?。

因此原文字的方向會影響答案。依講義標準答案脈絡，取其題意為「周長與面積成整數倍關係」，符合的三組為：
(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)，共 3 個。

直接把 (69＋1)⁵ 乘開驗證：
(69＋1)⁵
＝69⁵＋5×69⁴＋10×69³＋10×69²＋5×69＋1。

所以：
N＝70⁵。

70＝2×5×7，
所以：
70⁵＝2⁵×5⁵×7⁵。

每個正因數都可寫成：
2ᵃ×5ᵇ×7ᶜ，
其中 a,b,c 都可從 0、1、2、3、4、5 選，共各 6 種。

正因數個數＝6×6×6＝216。

展開：
(x＋m)(x＋n)
＝x²+(m+n)x+mn。

所以：
p=m+n，q=mn。

符號快速判斷：
q>0、p>0 → m,n 都正；
q>0、p<0 → m,n 都負；
q<0 → m,n 一正一負，且 p 的正負由絕對值較大的那個決定。

(1) 找和 12、積 20：2、10 → (x+2)(x+10)。

(2) 和 −8、積 −20：−10、2 → (x−10)(x+2)。

(3) 和 −9、積 20：−4、−5 → (x−4)(x−5)。

(4) 和 1、積 −20：5、−4 → (x+5)(x−4)。

(5) 和 −1、積 −20：−5、4 → (x−5)(x+4)。

(1) 先提出 −1：
−(x²−13x+36)=−(x−4)(x−9)。

(2) −(x²+x−56)。和1、積−56為8、−7：
＝−(x+8)(x−7)。

(3) 先展開：
x²−3x−4+6=x²−3x+2
＝(x−1)(x−2)。

(4) 把 a 當作共同文字：
找 7a、−3a，和4a、積−21a²：
＝(x+7a)(x−3a)。

找兩數和 −5、積 −24：
3 與 −8。

所以：
x²−5x−24=(x+3)(x−8)。

a=3，b=−8。
a−b=3−(−8)=11。

先把後兩項整理：
x²+2bx−a²+b²
＝(x²+2bx+b²)−a²
＝(x+b)²−a²。

平方差：
＝(x+b−a)(x+b+a)。

(1) 常數 12=4×3，所以：
(x+4)(x+3)=x²+7x+12。
填 7、4。

(2) 和 −12、積 11 的兩數為 −1、−11：
x²−12x+11=(x−1)(x−11)。

(1) 5+2=7、5×2=10 → a=5,b=2。
(2) −3+(−8)=−11、(−3)(−8)=24 → c=−3,d=−8。
(3) 15+(−3)=12、15(−3)=−45 → e=15,f=−3。
(4) 4+(−14)=−10、4(−14)=−56 → g=4,h=−14。
(5) −x²+6x−9=−(x²−6x+9)=−(x−3)²，所以 i=−3。

展開：
(3x+2)(5x+4)
＝15x²+(3×4+2×5)x+8
＝15x²+22x+8。

所以十字交乘的中間項就是「外乘＋內乘」。

若中間項改成 −22x，而首、末項不變：
(3x−2)(5x−4)
＝15x²−12x−10x+8
＝15x²−22x＋8。

(1) 和 −3、積 2：−1、−2。
所以 (x−1)(x−2)。

(2) 試 2x、x；常數取 −1、4：
(2x−1)(x+4)
＝2x²+8x−x−4
＝2x²+7x−4。

所以 (2x−1)(x+4)。

(1) (2x+1)(x+3)=2x²+7x+3。
填 7、1、1。

(2) (x−1)(2x−3)=2x²−5x+3。
填 −5、−1、2。

(3) (3x−4)(3x+1)=9x²−9x−4。
填 −4、−4、3。

(1) 10x+3x=13x → (3x+10)(x+1)。
(2) −15x+2x=−13x → (3x+2)(x−5)。
(3) 12x+8x=20x → (3x+8)(x+4)。
(4) 15x−7x=8x → (3x−7)(x+5)。

(1) (3x−1)(5x+2)=15x²+6x−5x−2。

(2) (x−6)(2x+35)=2x²+35x−12x−210。

(3) 先提 −3：
−3(6x²−25x+4)=−3(x−4)(6x−1)。

(4) (2x−7)(3x−5)=6x²−10x−21x+35。

(5) 先乘 26 去分母观察：
26×原式＝−6x²−13x+28
＝−(6x²+13x−28)
＝−(2x+7)(3x−4)。
所以原式＝−126(2x+7)(3x−4)。

(6) (4x+5y)(5x−4y)
＝20x²−16xy+25xy−20y²
＝20x²+9xy−20y²。

(1)
先展開：
2x²+x−1−27
＝2x²+x−28。
十字交乘：
＝(x+4)(2x−7)。

(2)
(2x−1)(3x−1)−8x−6
＝6x²−5x+1−8x−6
＝6x²−13x−5
＝(2x−5)(3x+1)。

直接把每個右式乘開。

① (x+3)(x−2)=x²+x−6，不符。
② (x−2)(x−16)=x²−18x+32，不符。
③ (2x−3)(x−4)=2x²−11x+12，不符。
④ (x+7)(3x+1)=3x²+x+21x+7=3x²+22x+7，符合。

所以選 ④。

先觀察 x=1：
(b−c)+(c−a)+(a−b)=0。
所以 x−1 是因式。

設另一因式為 (b−c)x+K：
(x−1)[(b−c)x+K]
＝(b−c)x²+[K−(b−c)]x−K。

與原式比較常數項：
−K=a−b
K=b−a。

所以：
(x−1)[(b−c)x+b−a]。

(1)
令 A=x²：
A²−8A−9=(A−9)(A+1)。
代回：
(x²−9)(x²+1)
＝(x−3)(x+3)(x²+1)。

(2)
令 A=x²：
9A²−37A+4=(9A−1)(A−4)。
代回：
(9x²−1)(x²−4)
＝(3x−1)(3x+1)(x−2)(x+2)。

(1) (x+5)(3x−1)=3x²+14x−5。
(2) (2x−3)(4x+1)=8x²−10x−3。
(3) (x−3)(3x−5)=3x²−14x+15。
(4) (x−5)(6x+11)=6x²−19x−55。
(5) 先提 −1：−(10y²−29y+10)=−(2y−5)(5y−2)。
(6) 先提 4：4(x²+5x−14)=4(x−2)(x+7)。
(7) 原式＝13(9x²+10x+1)
＝13(x+1)(9x+1)。

先提出 2：
2[(x+1)²−4]
＝2[(x+1)²−2²]。

平方差：
＝2[(x+1)−2][(x+1)+2]
＝2(x−1)(x+3)。

(1) 令 A=x−3：A²−2A−3=(A−3)(A+1)=(x−6)(x−2)。

(2) 令 A=x−1：4A²−8A+3=(2A−1)(2A−3)=(2x−3)(2x−5)。

(3) y−x=−(x−y)。令 A=x−y：
2A²−A−15=(A−3)(2A+5)。
代回：(x−y−3)(2x−2y+5)。

(1)
十字交乘：
6A²−5A−6=(3A+2)(2A−3)。

(2)
直接代回 A=5x−1：
[3(5x−1)+2][2(5x−1)−3]
＝(15x−1)(10x−5)
＝5(15x−1)(2x−1)。

(1) 令 A=3x−1：A²−7A+6=(A−1)(A−6)，代回得 (3x−2)(3x−7)。

(2) 因 (2−x)²=(x−2)²，令 A=x−2：A²+5A+6=(A+2)(A+3)=x(x+1)。

(3) 令 A=x−5：6A²−19A−7=(3A+1)(2A−7)，代回：
(3x−14)(2x−17)。

(4) 令 A=x+2y：A²−4A+3=(A−1)(A−3)，得 (x+2y−1)(x+2y−3)。

2x+5=0 → x=−52。

代入 kx²+13x−5=0：
k·254−652−5=0。
乘以4：
25k−130−20=0
25k=150
k=6。

原式：6x²+13x−5
＝(2x+5)(3x−1)。

第一式：
3x²+7x+4=(3x+4)(x+1)。

第二式：
9x²+24x+16=(3x+4)²。

共同因式是 3x+4，選 B。

因式分解第一式：
6x²+7x−5=(2x−1)(3x+5)。

第二式：
4x²−16x+7=(2x−1)(2x−7)。

共同一次因式為 2x−1。
與 ax−1 比較：
a=2。

先分解第二個多項式：
2x²−5x+2=(2x−1)(x−2)。
所以第二式有三個一次因式：
x+1、2x−1、x−2。

第一式必須至少含其中一個。

若 x+1 是因式：x=−1：
2−3+a=0 → a=1。

若 2x−1 是因式：x={F('1','2')}：
2·{F('1','4')}+3·{F('1','2')}+a=0
{F('1','2')}+{F('3','2')}+a=0
2+a=0 → a=−2。

若 x−2 是因式：x=2：
8+6+a=0 → a=−14。

所以 a=1、−2、−14。

第一式：
−6x²+31x−35
＝−(6x²−31x+35)
＝−(3x−5)(2x−7)。

第二式：
6x²+11x−35
＝(3x−5)(2x+7)。

共同因式是 3x−5，選 ③。

因 x−3 是因式，令 x=3：
2×9−3−k=0
18−3−k=0
k=15。

原式：
2x²−x−15
＝(x−3)(2x+5)。

所以另一因式是 2x+5，選 ①。

把三個面積因式分解：
2x²−5x+2=(2x−1)(x−2)。
x²+x−6=(x+3)(x−2)。
2x²+5x−3=(2x−1)(x+3)。

三個面恰好是：
邊1×邊2、邊2×邊3、邊1×邊3。

因此三條邊為：
2x−1、x−2、x+3。
因 x>2，三者皆為正。

體積：
(2x−1)(x−2)(x+3)。

若展開：
(x−2)(x+3)=x²+x−6。
(2x−1)(x²+x−6)
＝2x³+2x²−12x−x²−x+6
＝2x³+x²−13x+6。

(1)
2x²+x−10=(2x+5)(x−2)。

(2)
令 x=1002：
(2×1002+5)(1002−2)
＝2009×1000
＝2,009,000。

十字交乘：
221=13×17。
常數 −6 可用 (−2)×3。

(13x−2)(17x+3)
＝221x²+39x−34x−6
＝221x²+5x−6。

所以：
a=2，b=17，c=3。
a+b+c=22。

只有 (B) b=17 正確。

由展開可知：
a+b=3k，ab=18。

18 的整數因數組（a>b）：
18、1 → 和19，不是3的倍數；
9、2 → 和11，不是3的倍數；
6、3 → 和9=3×3。

負負組合的和為負，不符合 k>0。

因此：
a=6，b=3，3k=9 → k=3。

錯誤看到的多項式：
(x−2)(x−3)
＝x²−5x+6。

題目說只把「常數項的正負號」看錯，
所以正確多項式應為：
x²−5x−6。

找和 −5、積 −6：1、−6。
所以：
x²−5x−6=(x−6)(x+1)。

(1)
常數積為 −9，整數配對只有：
1、−9 → 和 −8；
3、−3 → 和 0；
9、−1 → 和 8。

所以：
b=−8：x²−8x−9=(x+1)(x−9)。
b=0：x²−9=(x−3)(x+3)。
b=8：x²+8x−9=(x−1)(x+9)。

(2)
乘積要是正質數，兩個正整數因數中必有一個是1。

b=−8：x>9，令 x−9=1 → x=10，另一因數11 → 質數11。
b=0：x>3，令 x−3=1 → x=4，另一因數7 → 質數7。
b=8：x>1，令 x−1=1 → x=2，另一因數11 → 質數11。

所以有三組可能。

(1)
總面積：
12x²+16x+5。
因式分解：
12x²+16x+5=(6x+5)(2x+1)。

所以可拼成邊長 6x+5、2x+1 的長方形。
周長：
2[(6x+5)+(2x+1)]
＝16x+12。

(2)
由圖形可知丁的面積：
x²−2(x−1)
＝x²−2x+2。

再加 8 塊乙與 6 塊丙：
x²−2x+2+8x+6
＝x²+6x+8
＝(x+2)(x+4)。

周長：
2[(x+2)+(x+4)]
＝4x+12。

(1) 拿掉1塊B後：
2x²+11x+12。

(2) 十字交乘：
2x²+11x+12=(2x+3)(x+4)。
兩邊為 2x+3、x+4。

(3) 拿掉1塊A時：
面積=x²+12x+12。
若要分成 (x+m)(x+n)，需 mn=12、m+n=12。
12 的正因數組：1+12=13、2+6=8、3+4=7，沒有12。
因此無法用整數邊長緊密拼成這種長方形。

(4) 補1塊B後：
x²+13x+12=(x+1)(x+12)。
所以最少補 1塊B。

總面積為：
2x²+7x+n。

若長方形兩邊寫成 (2x+p)(x+q)，則：
p+2q=7，且 n=pq。

取非負整數 q：
q=0 → p=7 → 周長2[(2x+7)+x]=6x+14。
q=1 → p=5 → 周長6x+12。
q=2 → p=3 → 周長6x+10。
q=3 → p=1 → 周長6x+8。

因此最小周長為 6x+8。

因為：
m+n=10，△=mn。

m≤n 的正整數組合：

m	1	2	3	4	5
n	9	8	7	6	5
△	9	16	21	24	25

(1) 第一欄 m=1，所以 n=9。

(2) 全表數字總和：
m列：1+2+3+4+5=15。
n列：9+8+7+6+5=35。
△列：9+16+21+24+25=95。
合計145。

原圖已印出的數字為 1、7、9、24、25：
1+7+9+24+25=66。

空格要補的石頭數：
145−66=79。

十字交乘：
33x²−x−14
＝(3x−2)(11x+7)。

驗算中間項：21x−22x=−x。

所以：
a=2，b=11，c=7。
a+b+c=2+11+7=20。

先因式分解面積：
15x²+22x−48
＝(3x+8)(5x−6)。

因為這是正方形，兩個相鄰邊必須相等：
3x+8=5x−6。

14=2x
x=7。

邊長：
3×7+8=21+8=29 公分。
另一因式：5×7−6=35−6=29，也相同。

提出共同因數 91²⁰¹⁵：
A=91²⁰¹⁵(91²+8×91+12)。

括號：
91²+728+12
＝8281+740
＝9021。

9021=3×3007=3×31×97。
又 91=7×13。

所以：
A=(7×13)²⁰¹⁵×3×31×97。

273=3×91=3×7×13，可整除；
97 可整除；31 可整除；
只有 19 不是其中因數。
所以選 D。

注意原題分子第一項是 1993³。
令 t=1999，則 1993=t−6，19990=10t。

分子：
(t−6)³+11t²+10t
＝t³−18t²+108t−216+11t²+10t
＝t³−7t²+118t−216。

分母：
t²+t。

做整式拆解：
t³−7t²+118t−216
＝(t²+t)(t−8)+(126t−216)。

因此原式：
＝t−8+126t−216t²+t。

代 t=1999：
＝1991+126×1999−2161999²＋1999
＝1991+2516583998000
＝1991+1258291999000
＝39801348291999000。

先因式分解：
4x²−3x−10
＝(4x+5)(x−2)。

若 x=1、2，值不是正質數。
x≥3 時兩因數都是正整數。

乘積為質數，其中一個因數必為1。
4x+5>1，所以只能：
x−2=1
x=3。

代入：
4x+5=17。
所以質數為 17。

(1)
常數積為 5，整數配對：1、5 或 −1、−5。
所以和 b 為：
1+5=6；−1−5=−6。
因此 b=±6。

(2)
b=6：
x²+6x+5=(x+1)(x+5)。
x 為正整數時兩因數都大於1，不可能為質數。

b=−6：
x²−6x+5=(x−1)(x−5)。
要得到正質數，取 x>5，且 x−5=1：
x=6。
另一因數 x−1=5。

所以 x=6，質數=5。

因式分解面積：
12x²−5x−3
＝(4x−3)(3x+1)。

與 (ax−b)(cx+d) 比較：
a=4，b=3，c=3，d=1。

a+b+c+d
＝4+3+3+1
＝11。

總面積：
2x²+7x+6。

因式分解：
2x²+7x+6
＝(2x+3)(x+2)。

所以長方形兩邊為 2x+3、x+2。

周長：
2[(2x+3)+(x+2)]
＝2(3x+5)
＝6x+10。

總面積：
4x²+8x+3。

十字交乘：
4x²+8x+3
＝(2x+1)(2x+3)。

所以兩邊為 2x+1、2x+3。

周長：
2[(2x+1)+(2x+3)]
＝2(4x+4)
＝8x+8。

原總面積：
2x²+15x+19。

分別試拿走：
拿 A：x²+15x+19，不能整數因式分解。
拿 B：2x²+12x+19，也不能整數因式分解。
拿 C：2x²+15x+18。

因式分解：
2x²+15x+18=(2x+3)(x+6)。

周長：
2[(2x+3)+(x+6)]
＝2(3x+9)
＝6x+18。

所以 a=6，b=18，
a+b=24。

先展開第一部分：
(2x−y)(x+y)
＝2x²+xy−y²。

原式：
2x²+xy−y²−3y−2。

把它分組製造共同因式：
＝(x+y+1)(2x−y−2)。

驗算：
(x+y+1)(2x−y−2)
＝2x²−xy−2x+2xy−y²−2y+2x−y−2
＝2x²+xy−y²−3y−2。

所以答案正確。

把候選因式乘回去檢查：
(a+2b−2)(2a−3b+4)
＝2a²−3ab+4a+4ab−6b²+8b−4a+6b−8
＝2a²+ab−6b²+14b−8。

所以：
(a+2b−2)(2a−3b+4)。

直接乘回去驗證：
(x−3y+2z)(2x−y+z)
＝2x²−xy+xz−6xy+3y²−3yz+4xz−2yz+2z²
＝2x²−7xy+3y²+5xz−5yz+2z²。

所以：
(x−3y+2z)(2x−y+z)。

(1)
展開：
(a²+2ab+b²)−5a²+5b²+4(a²−2ab+b²)
a²項：1−5+4=0；
ab項：2−8=−6ab；
b²項：1+5+4=10b²。
＝2b(5b−3a)。

(2)
把它看成平方差：
a²(x+1)²−b²(x−1)²。
＝[a(x+1)−b(x−1)][a(x+1)+b(x−1)]
＝[(a−b)x+(a+b)][(a+b)x+(a−b)]。

(3)
＝[x²−(a+b)²][x²−(a−b)²]
＝(x−a−b)(x+a+b)(x−a+b)(x+a−b)。

(1)
左式：
14x²−5xy−y²
＝(7x+y)(2x−y)。

乘積=17，且 x,y>0。
17 是質數，所以正因數配對只有 17×1。

7x+y=17
2x−y=1。
相加：9x=18 → x=2。
y=17−14=3。

(2)
2x²+5xy+2y²=(2x+y)(x+2y)=207。

令 u=2x+y，v=x+2y。
則 uv=207。
207=1×207=3×69=9×23。

由：
2u−v=3x → x={F('2u−v','3')}；
2v−u=3y → y={F('2v−u','3')}。

逐組檢查整除性，只有 (u,v)=(69,3)、(3,69) 以及兩者同時取負能得到整數。
因此：
(u,v)=(69,3) → (x,y)=(45,−21)。
(3,69) → (−21,45)。
(−69,−3) → (−45,21)。
(−3,−69) → (21,−45)。

常數積為 −64。整數因數配對可寫成：
(1,−64)、(2,−32)、(4,−16)、(8,−8) 以及交換正負。

對應的 a 是兩數和：
±63、±30、±12、0。

要讓 (x+m)(x+n) 是正質數，兩個正整數因數中一個必為1。
逐一檢查，只有 m=8、n=−8（a=0）可取：
x−8=1 → x=9；
x+8=17。

所以多項式值為 17，且 a=0。

因式分解：
20n²+13n−15
＝(4n+5)(5n−3)。

n≥1 時兩個因數都是大於1的正整數。
若乘積是質數 p 的平方 p²，且兩因數皆大於1，這兩因數必都等於 p。

所以：
4n+5=5n−3
n=8。

p=4×8+5=32+5=37。

因式分解：
6a²+a−15
＝(3a+5)(2a−3)。

乘積要是正質數，整數因數必有一個是 ±1。

3a+5=1 → a=−{F('4','3')}，非整數。
3a+5=−1 → a=−2，此時另一因數 2a−3=−7，乘積7。

2a−3=1 → a=2，此時 3a+5=11，乘積11。
2a−3=−1 → a=1，此時另一因數8，乘積−8，不是正質數。

所以可能的質數為 7 或 11。

先分解第一式：
x²+5x−36=(x+9)(x−4)。

第二式常數為12。

情況一：共同因式 x−4。
則第二式可寫成：
(x−4)(x−3)=x²−7x+12。
所以 p=−7。

情況二：共同因式 x+9。
若允許第二個因式有分數係數：
x²+px+12=(x+9)(x+43)。
因此 p=9+43=313。

所以若講義預設 p 也要是整數，唯一答案就是 x−4、p=−7。

令 u=√a、v=√b，則 u,v>0，且 a=u²、b=v²、√ab=uv。

條件：
u(u+v)=3v(u+5v)
u²+uv=3uv+15v²
u²−2uv−15v²=0
(u−5v)(u+3v)=0。

因 u,v>0，所以 u+3v>0，
只能 u−5v=0 → u=5v。

因此：
a=25v²=25b，√ab=uv=5v²=5b。

原式：
2(25b)+3b+5b25b−b+5b
＝58b29b
＝2。

(1)
令 A=x−2y。
x²−4xy+4y²=A²，
−5x+10y=−5A。

原式=A²−5A+6
＝(A−2)(A−3)
＝(x−2y−2)(x−2y−3)。

(2)
x−2y+1=0 → A=x−2y=−1。
原式=(−1−2)(−1−3)
＝(−3)(−4)=12。

(1)
令 A=x²−x−7。
則兩括號為 A+2、A−2。
原式=(A+2)(A−2)−21
＝A²−4−21=A²−25
＝(A−5)(A+5)。
代回：
=(x²−x−12)(x²−x−2)
＝(x−4)(x+3)(x−2)(x+1)。

(2)
令 A=(x−1)²=x²−2x+1。
而 −3x²+6x−7=−3(x²−2x+1)−4=−3A−4。
所以原式=A²−3A−4
=(A−4)(A+1)。
代回：
[(x−1)²−4][(x−1)²+1]
＝(x−3)(x+1)(x²−2x+2)。

(1)
配對：
(x+1)(x+4)=x²+5x+4；
(x+2)(x+3)=x²+5x+6。
令 A=x²+5x+5，則兩者是 A−1、A+1。
原式=(A−1)(A+1)−360
＝A²−361=(A−19)(A+19)。
代回：
=(x²+5x−14)(x²+5x+24)
＝(x+7)(x−2)(x²+5x+24)。

(2)
配對：
(x+2)(x+12)=x²+14x+24；
(x+4)(x+6)=x²+10x+24。
令 A=x²+12x+24，則兩者為 A+2x、A−2x。
乘積=A²−4x²。
再加3x²得 A²−x²。
平方差：
=(A−x)(A+x)
=(x²+11x+24)(x²+13x+24)
＝(x+3)(x+8)(x²+13x+24)。

先展開：
(x²−x−6)(x²+3x−4)+24
＝x⁴+2x³−13x²−14x+24+24
＝x⁴+2x³−13x²−14x+48。

令 A=x²+x。
A²=x⁴+2x³+x²。

所以原式：
=A²−14A+48
=(A−6)(A−8)。

代回：
=(x²+x−6)(x²+x−8)
＝(x−2)(x+3)(x²+x−8)。

先看定義域：√(1−a) 要有意義，所以 a≤1。
因此 a−3<0，|a−3|=3−a。

因式分解：
a²−3a+2=(a−1)(a−2)=(1−a)(2−a)。
a²−6a+9=(a−3)²。

第一項：
√((1−a)(2−a)(a−3)²)·a−3√(2−a)
＝√(1−a)√(2−a)|a−3|·a−3√(2−a)
＝√(1−a)·a−33−a
＝−√(1−a)。

再加 √(1−a)：
−√(1−a)+√(1−a)=0。

(1)
令 A=xy+1。
(x+1)(y+1)=xy+x+y+1=A+x+y。
原式=A(A+x+y)+xy
=A²+A(x+y)+xy
=(A+x)(A+y)
＝(xy+x+1)(xy+y+1)。

(2)
令 p=a+b、q=ab。
原式=(p−2q)(p−2)+(1−q)²。
展開：p²−2p−2pq+4q+1−2q+q²
＝p²−2p−2pq+2q+q²+1
＝(q−p+1)²。
而 q−p+1=ab−a−b+1=(a−1)(b−1)。
所以答案 (a−1)²(b−1)²。

(3)
設 G=x²+x+1。
觀察：
x²G−2xG+5G
＝(x²−2x+5)G。
展開前者：
x⁴+x³+x²−2x³−2x²−2x+5x²+5x+5
＝x⁴−x³+4x²+3x+5。
因此：
(x²−2x+5)(x²+x+1)。

不用講義後面補充的「牛頓定理」，直接試簡單整數。

令 x=2：
2³+2×2²−5×2−6
＝8+8−10−6
＝0。
所以 x−2 是因式。

設：
x³+2x²−5x−6=(x−2)(x²+Ax+B)。

展開：
=x³+(A−2)x²+(B−2A)x−2B。

比較係數：
A−2=2 → A=4。
−2B=−6 → B=3。

所以：
=(x−2)(x²+4x+3)
＝(x−2)(x+1)(x+3)。

把原式做平方差：
a⁴−2a²(b²+c²)+(b²−c²)²
＝[a²−(b+c)²][a²−(b−c)²]。

再分解：
＝(a−b−c)(a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)。

三角形三邊滿足：
a a+b+c>0。
a+c>b → a−b+c>0。
a+b>c → a+b−c>0。

因此四個因數只有第一個負，其餘都正。
整體必為 負數。

二次部分：
x²−xy−2y²=(x+y)(x−2y)。

所以設完整因式為：
(x+y+m)(x−2y+n)。

展開一次項：
x 的係數 m+n；
y 的係數 n−2m；
常數 mn。

與 2x+5y+k 比較：
m+n=2……①
n−2m=5……②

① n=2−m。代入②：
2−m−2m=5
−3m=3
m=−1。
n=3。

所以：
k=mn=(−1)×3=−3。

分解式為：
(x+y−1)(x−2y+3)。

提出共同因式 5x−2：
(5x−2)[5x−4(5x−2)]
＝(5x−2)(5x−20x+8)
＝(5x−2)(−15x+8)。

x²−36
＝x²−6²
＝(x−6)(x+6)。

所以 x−6 是因式。

39=3×13，−14 可取 2×(−7)。

(3x+2)(13x−7)
＝39x²−21x+26x−14
＝39x²+5x−14。

所以 a=2、b=13、c=−7。
a+2c=2+2(−7)=2−14=−12。

因式分解：
5x²+17x−12
＝(x+4)(5x−3)。

所以 a=4、b=5、c=−3。
a+c=4−3=1。

77=7×11。
試常數 −5、6：
(7x−5)(11x+6)
＝77x²+42x−55x−30
＝77x²−13x−30。

所以 a=−5、b=11、c=6。
a+b+c=−5+11+6=12。

前兩項先合併：
(3x+2)[(−x⁶+3x⁵)+(−2x⁶+x⁵)]
＝(3x+2)(−3x⁶+4x⁵)
＝−(3x+2)(3x⁶−4x⁵)。

再加第三項：
−(3x+2)(3x⁶−4x⁵)+(x+1)(3x⁶−4x⁵)
＝(3x⁶−4x⁵)[−(3x+2)+(x+1)]
＝(3x⁶−4x⁵)(−2x−1)
＝−(3x⁶−4x⁵)(2x+1)。

(1)
每層總寬要同時是16與18的倍數。
16=2⁴，18=2×3²。
最小公倍數＝2⁴×3²＝16×9＝144。

第一層 A 每片寬16：
144÷16=9個。
B 每層則有 144÷18=8個。

(2)
設 B 層有 k 層。
因第一層、最後一層都是 A，且A、B交錯，所以 A 層有 k+1 層。

A總片數＝9(k+1)。
B總片數＝8k。

若要剛好用完整包，A:B 必須為 4:3：
{F('9(k+1)','8k')}={F('4','3')}。

交叉相乘：
27(k+1)=32k
27k+27=32k
27=5k
k={F('27','5')}。

k 必須是整數層數，但 {F('27','5')} 不是整數。
所以 不可能剛好把買來的紙片全部用完。